선형대수학의 기초

스칼라, 벡터 그리고 행렬

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스칼라(Scalar)

스칼라(Scalar)는 방향을 갖지 않고 크기만 갖는 개념으로 단일 숫자를 의미한다.

\[s \in \mathbb{R}\]

e.g.,

• $a = 3$
• $x = -1.2$
• $\theta = 90^\circ$

벡터(Vector)

벡터(Vector)는 수직 또는 수평으로 정렬된 숫자들의 집합이며, 크기와 방향을 가진다.

\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\]

벡터는 순서가 있는 수의 리스트라고 할 수 있으며, 순서가 다르면 같은 벡터가 아니다.

\[\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}\]

순서를 없는 리스트는 집합(set)이다.

행렬(Matrix)

행렬(Matrix)은 2차원 숫자 배열로, 다수의 벡터로 구성된다. 행(row)과 열(column)의 집합이기도 하다.

• 행(Row): 수평적인 벡터
• 열(Column): 수직적인 벡터
• 행렬 크기: 행(Row) $\times$ 열(Column)

\[A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

열 벡터와 행 벡터

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열 벡터(Column Vector)

열 벡터(Column Vector)는 세로 방향으로 나열된 1차원 배열로, 보통 이 방식으로 표현한다.

\[\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R^n} = \mathbb{R^{n+1}}\]

행 벡터(Row Vector)

행 벡터(Row Vector)는 가로 방향으로 나열된 1차원 배열이다. 열 벡터을 Transpose한 벡터이기도 하다.

\[\mathbf{x}^{T} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{1 \times n}\]

행렬 표기법

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• $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$: Square matrix
  • row 개수 = column 개수
  • e.g., \(A = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)
• $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$: Rectangular matrix
  • row 개수 $\neq$ column 개수 도 가능
  • e.g., \(A = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\)
• $A^T$: Transpose Matrix
  • e.g., \(A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 6 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}\)
• $A_{ij}$ : 행렬 $A$의 $i$ 번쨰 행, $j$ 번째 열의 요소
• $A_{i,:}$ : 행렬 $A$의 $i$ 번째 형 벡터
• $A_{:,j}$ : 행렬 $A$의 $j$ 번째 열 벡터

벡터와 행렬의 연산

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벡터 / 행렬 덧셈과 곱셈

• 벡터와 행렬의 덧셈은 같은 위치에 있는 요소끼리 더한다.
  • 행렬(or 벡터)의 크기가 모두 동일해야한다. ($A, B, C \in \mathbb{R}^{m \times n}$)
  • 행렬(or 벡터)의 뺄셈도 동일함
• 벡터와 행렬의 스칼라 곱셈은 각각의 모든 요소에 스칼라 값을 곱한다.
  • e.g., \(c \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx_1 \\ cx_2 \\ \vdots \\ cx_n \end{bmatrix}, c\begin{bmatrix} w & x \\ y & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cw & cx \\ cy & cz \end{bmatrix}\)
• 행렬과 행렬끼리의 곱셈: $C_{ij} = \sum_{k}A_{i, k}B_{k, j}$
  • 곱하려는 행렬의 첫번째 행렬의 열의 개수와 두번째 행렬의 행의 개수는 동일해야 한다.
  • e.g., \(\begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 5 \\ 11 & 1 \\ 9 & -3 \end{bmatrix}\)

행렬의 성질

• 행렬은 교환법칙(commutative)이 성립하지 않는다.

  • $A \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$ 이며 $B \in \mathbb{R}^{3 \times 5}$ 인 경우, $AB$는 가능하지만 $BA$ 계산은 불가능하다.
  • $A \in \mathbb{R}^{2 \times 3}$ 이며 $B \in \mathbb{R}^{3 \times 2}$ 인 경우, $AB$, $BA$ 계산이 모두 가능하지만 결과로 나오는 행렬의 크기가 다르다.
  • $A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 이며 $B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 인 경우, $AB$, $BA$ 계산이 모두 가능하고 결과로 나오는 행렬의 크기도 같지만 결과로 나온 행렬의 원소값이 다를 수 있다.
    • \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}\)
      \(\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 23 & 34 \\ 31 & 46 \end{bmatrix}\)

• 행렬은 분배법칙(Distributive)이 성립한다.

\[A(B + C) = AB + AB\]

• 행렬은 결합법칙(Associative)이 성립힌다.

\[A(BC) = (AB)C\]

• 전치행렬(Transpose Matrix) 성질

\[(AB)^T = B^TA^T\]

• 역행렬(Inverse Matrix) 성질

\[(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\]